先日Twitterで言及されていた問題に対して考察しましたのでその成果をここに上げておきます。
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szITVd3eUhMaGdQZHM/edit?usp=sharing
追記 : 1回修正しました。
このブログは、
私のtwitterアカウント
や下記YouTubeチャンネルではできないことを補助したりするものです。
このブログの基本方針は「日頃の数学の勉強で気づいたことなどをメモする」です。
ちなみに proper_TAJIRI の proper の由来は当ブログでよく話題にしていた forcing とは関係ありません。
YouTubeチャンネルはこちら
2014年6月10日火曜日
2014年5月9日金曜日
proper forcing 学習の記録 --資料紹介編 その2
1-1. Proper forcing / Uri Abraham (補足)
前回の補足です。当資料では projection の概念は2つ定義されていて、普通の projection と stronger version の projection が定義されています。しかし、当資料で単に projection と言ったときにそれが暗に stronger version の方であることを仮定しているような書き方が見受けられます。(そう仮定するという明示的な説明はありません。)
しかしながら、実のところ、この2つを厳密に区別して管理しなければならないかといえばそうでもないのです。
ZF ぐらい十分強い公理系のモデルに forcing を適用する場合には、いかなる forcing poset も完備ブール代数に稠密に埋め込めて、埋め込んだブール代数(完備化)と元の poset は forcing の意味において同じ(得られる強制拡大達が同じになる)という定理は良く知られています。(これについてはKunen 本等を参照してください。)
実は、Q と P が forcing poset であるとして Q から P に projection がある場合、Q の完備化 から P の完備化への strong projection が作れるのです。
つまり、結局 strong projection に関してだけ理論的な面倒を見ればとりあえず実用上は困らないということになるわけです。
2. Proper and Improper forcing / Saharon Shelah
proper forcing の生みの親である Shelah の本です。Abraham の proper forcing でも引用がなされているのでこの資料を手に取るのは必然かと思われます。
しかしこの本、その分厚さの割に索引が存在しません。
証明の筋道は参考になったりするのですが、書いてある通りの証明を再現しようとすると上手く行かないかもしれません。
そういうところは、「Shelah の言わんとするところが理解できれば良しとする」というスタンスで読むのもありだと思います。
必要でいろいろ参考にはなるんだけど、教科書的には扱いにくい資料、といった印象を受けた資料です。
3. Elementary submodels in infinite combinatorics / Lajos Soukup
http://www.math-inst.hu/pub/setop/otka61600/elementary_submodels.pdf
Abraham の資料に従って proper forcing を定義し、定理を証明していくには elementary submodel の概念を知らねばなりません。
しかし Kunen 本には elementary submodel を使った議論をフィーチャーしたセクションは存在しませんでした。(新版の Kunen 本:Set theory (2011) にはあります。)
なので、私がそうだったように「強制法を知っていても elementary submodel ってどんな風に使うのか知らない」という人も多いのではないでしょうか。
この資料はまさにそういった人向けの資料です。
4. Set theory / Jech
Kunen 本についで有名な本。なのではないでしょうか。
この本では proper forcing は stationary set の概念を用いた方法で定義されています。
(そもそも、Shelah 本でも proper forcing はこっちの定義で導入されているものでした。)
結局は、Abraham の section 2.3 でその定義が elementary submodel を使った定義と同値であることが証明されることになるのですが、Jech 本での議論もそれはそれで参考になります。
また、Axiom A の定義も Abraham の資料で導入されている定義と異なり、それらが同値な定義であることはそんなに難しくないので、良い演習問題となると思います。
とりあえずこれで予定していた資料紹介は終了です。
3番の資料以外は手に取る必然性のあるものばかりでしたね。
前回の補足です。当資料では projection の概念は2つ定義されていて、普通の projection と stronger version の projection が定義されています。しかし、当資料で単に projection と言ったときにそれが暗に stronger version の方であることを仮定しているような書き方が見受けられます。(そう仮定するという明示的な説明はありません。)
しかしながら、実のところ、この2つを厳密に区別して管理しなければならないかといえばそうでもないのです。
ZF ぐらい十分強い公理系のモデルに forcing を適用する場合には、いかなる forcing poset も完備ブール代数に稠密に埋め込めて、埋め込んだブール代数(完備化)と元の poset は forcing の意味において同じ(得られる強制拡大達が同じになる)という定理は良く知られています。(これについてはKunen 本等を参照してください。)
実は、Q と P が forcing poset であるとして Q から P に projection がある場合、Q の完備化 から P の完備化への strong projection が作れるのです。
また、P と Q を完備ブール代数としたとき、P から Q への complete embedding が存在することと Q から P への strong projection が同値になります。
(ここらへんのことを証明するには前回言及した分に加えて Kunen 本 VII 章演習問題 [C8] が多少は参考になると思います。)つまり、結局 strong projection に関してだけ理論的な面倒を見ればとりあえず実用上は困らないということになるわけです。
2. Proper and Improper forcing / Saharon Shelah
proper forcing の生みの親である Shelah の本です。Abraham の proper forcing でも引用がなされているのでこの資料を手に取るのは必然かと思われます。
しかしこの本、その分厚さの割に索引が存在しません。
証明の筋道は参考になったりするのですが、書いてある通りの証明を再現しようとすると上手く行かないかもしれません。
そういうところは、「Shelah の言わんとするところが理解できれば良しとする」というスタンスで読むのもありだと思います。
必要でいろいろ参考にはなるんだけど、教科書的には扱いにくい資料、といった印象を受けた資料です。
3. Elementary submodels in infinite combinatorics / Lajos Soukup
http://www.math-inst.hu/pub/setop/otka61600/elementary_submodels.pdf
Abraham の資料に従って proper forcing を定義し、定理を証明していくには elementary submodel の概念を知らねばなりません。
しかし Kunen 本には elementary submodel を使った議論をフィーチャーしたセクションは存在しませんでした。(新版の Kunen 本:Set theory (2011) にはあります。)
なので、私がそうだったように「強制法を知っていても elementary submodel ってどんな風に使うのか知らない」という人も多いのではないでしょうか。
この資料はまさにそういった人向けの資料です。
4. Set theory / Jech
Kunen 本についで有名な本。なのではないでしょうか。
この本では proper forcing は stationary set の概念を用いた方法で定義されています。
(そもそも、Shelah 本でも proper forcing はこっちの定義で導入されているものでした。)
結局は、Abraham の section 2.3 でその定義が elementary submodel を使った定義と同値であることが証明されることになるのですが、Jech 本での議論もそれはそれで参考になります。
また、Axiom A の定義も Abraham の資料で導入されている定義と異なり、それらが同値な定義であることはそんなに難しくないので、良い演習問題となると思います。
とりあえずこれで予定していた資料紹介は終了です。
3番の資料以外は手に取る必然性のあるものばかりでしたね。
2014年5月3日土曜日
proper forcing 学習の記録 --資料紹介編 その1
近頃、私は proper forcing と呼ばれている強制法を習得すべく学習しているのですが、初っ端からいろんな壁にぶち当たりました。
そこで特に心に残った点についていろいろ記しておこうと思います。
今後 proper forcing を勉強し始める人の何かの役に立てば幸いであります。
(まあ、新発見的なことは多分発生しないので、使う資料の参考とかにしてもらえれば。)
・proper forcing を学ぶための良い資料
------------------------------------------------------------------------------------------------
何事も学び始めるには何か良い教科書が欲しいものです。
しかし、proper forcing の勉強には「これ一冊あれば十分!」と呼べるものは無いように思われます。
「いや、それ他の勉強でもそうだろ」と言われればそうなのですが、ここで私が比較対象に考えているのは集合論の入門書として呼び声の高い Kunen の Set Theory (1980) (以下、Kunen 本と呼ぶ)です。
そもそも、proper forcing 自体が強制法の発展的な話題であるので、それについての指南書は当然読者に必要な知識を仮定するでしょうし、入門書のように書かれることは期待するべくもありません。
とはいえ一方で、何が必要であるかは勉強してみなければ分からないものなので、読者が必要な知識を全て持っているということも、ほとんど起こりえないことでしょう。
つまり、そうなると必然的に「いくつもの良い資料を漁って必要な知識を補充しながら学ぶ」ことになりますが、それをするためにはまずは良い資料の存在自体を知らねばなりません。
そこで、私が参考にしている、または参考にできたと感じた資料を紹介していきたいと思います。
------------------------------------------------------------------------------------------------
0. Set theory (1980) / Kunen
先ほども触れたのですが、これは言うまでもないというか、必須というか。
私はしばしばこの本の内容を当然のように引用しますので、一応は改めて言及しておきます。
集合論の入門書として呼び声の高い名著。
私は「物を数える数は1から派」ですが、今回紹介する本質的な参考資料というわけではないので0番目としました。
1. Proper forcing / Uri Abraham
Handbook of Set Theory の中の一章です。私はこの資料をベースに proper forcing を学んでおります。
この資料は良い資料であると先生方が仰っておられたのですが、それは先ほども触れたように「入門書として使える」ということを意味しません。それどころか、Introduction では証明無しに触れられている事実が非常にたくさん出てきます。そしてそれらの証明も決して自明というわけではありません。そのあたりの証明をしっかりやりたい人にはそこが最初の壁として立ちはだかります。
また、初歩的な注意として、この資料では forcing notion の順序が一般的なものとは逆になっています。これは Shelah 等が使っている流儀で、強い condition を大きい方と見なしているので注意です。
Introductionを勉強するなら是非とも Kunen 本の VII 章演習問題[C7], [D3], [D4], [D5]を見ておいてください。
Kunen 本訳者である藤田先生による演習問題の解答集作成プロジェクト
http://tenasaku.com/academia/answers/ (みなさんも参加しませんか? これ。)
に当該問題の解答がありますので、上手に活用させてもらいましょう。
[C7]は一見関係なさそうですが、実は projection の定義に大いに関係があります。
[C7]にはA-包という概念がでてきますが、これは stronger version の projection の性質を満たします。また、c \leq h(b) が成り立つとき、h(i(c) \wedge b) = c が成り立ちます。
stronger projection の定義に出てくる c + b はこの文脈では i(c) \wedge b のことに他ならず、A が B に最初から完備包含されていれば + は \wedge に完全に対応していることになるわけです。
(おそらく + はそれを踏まえた上で定義された記号でしょう。\wedge だから × のほうが対応してそうなのですが、ブール代数と逆順序になっていることまで踏まえているものだと思われます。)
長くなったので今回はここまで。他の資料は次回以降に。
そこで特に心に残った点についていろいろ記しておこうと思います。
今後 proper forcing を勉強し始める人の何かの役に立てば幸いであります。
(まあ、新発見的なことは多分発生しないので、使う資料の参考とかにしてもらえれば。)
・proper forcing を学ぶための良い資料
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何事も学び始めるには何か良い教科書が欲しいものです。
しかし、proper forcing の勉強には「これ一冊あれば十分!」と呼べるものは無いように思われます。
「いや、それ他の勉強でもそうだろ」と言われればそうなのですが、ここで私が比較対象に考えているのは集合論の入門書として呼び声の高い Kunen の Set Theory (1980) (以下、Kunen 本と呼ぶ)です。
そもそも、proper forcing 自体が強制法の発展的な話題であるので、それについての指南書は当然読者に必要な知識を仮定するでしょうし、入門書のように書かれることは期待するべくもありません。
とはいえ一方で、何が必要であるかは勉強してみなければ分からないものなので、読者が必要な知識を全て持っているということも、ほとんど起こりえないことでしょう。
つまり、そうなると必然的に「いくつもの良い資料を漁って必要な知識を補充しながら学ぶ」ことになりますが、それをするためにはまずは良い資料の存在自体を知らねばなりません。
そこで、私が参考にしている、または参考にできたと感じた資料を紹介していきたいと思います。
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0. Set theory (1980) / Kunen
先ほども触れたのですが、これは言うまでもないというか、必須というか。
私はしばしばこの本の内容を当然のように引用しますので、一応は改めて言及しておきます。
集合論の入門書として呼び声の高い名著。
私は「物を数える数は1から派」ですが、今回紹介する本質的な参考資料というわけではないので0番目としました。
1. Proper forcing / Uri Abraham
Handbook of Set Theory の中の一章です。私はこの資料をベースに proper forcing を学んでおります。
この資料は良い資料であると先生方が仰っておられたのですが、それは先ほども触れたように「入門書として使える」ということを意味しません。それどころか、Introduction では証明無しに触れられている事実が非常にたくさん出てきます。そしてそれらの証明も決して自明というわけではありません。そのあたりの証明をしっかりやりたい人にはそこが最初の壁として立ちはだかります。
また、初歩的な注意として、この資料では forcing notion の順序が一般的なものとは逆になっています。これは Shelah 等が使っている流儀で、強い condition を大きい方と見なしているので注意です。
Introductionを勉強するなら是非とも Kunen 本の VII 章演習問題[C7], [D3], [D4], [D5]を見ておいてください。
Kunen 本訳者である藤田先生による演習問題の解答集作成プロジェクト
http://tenasaku.com/academia/answers/ (みなさんも参加しませんか? これ。)
に当該問題の解答がありますので、上手に活用させてもらいましょう。
[C7]は一見関係なさそうですが、実は projection の定義に大いに関係があります。
[C7]にはA-包という概念がでてきますが、これは stronger version の projection の性質を満たします。また、c \leq h(b) が成り立つとき、h(i(c) \wedge b) = c が成り立ちます。
stronger projection の定義に出てくる c + b はこの文脈では i(c) \wedge b のことに他ならず、A が B に最初から完備包含されていれば + は \wedge に完全に対応していることになるわけです。
(おそらく + はそれを踏まえた上で定義された記号でしょう。\wedge だから × のほうが対応してそうなのですが、ブール代数と逆順序になっていることまで踏まえているものだと思われます。)
長くなったので今回はここまで。他の資料は次回以降に。
2014年4月12日土曜日
Kunen本 VII章 演習問題 [F4], [F5], [H2] 感想戦
[F4]はタルスキによる有名な結果. 自力で解ききるのは難しいかと.
[F5]は気づいてしまえば何も難しいことは無い問題.
和因子の各反鎖に, 0列に関する小細工がありますが, これは
全ての反鎖の和を取ったとき全体をちゃんと反鎖にするための工夫です.
[H2]の解法は, 強制法ではよくあることらしいのですが
解法を知った時は狐につままれたような気分でした.
「強制拡大の c.u.b. 集合のゴースト(とでも言うのか)が基礎モデルで作れる.
そしてそいつは c.u.b. 集合であるからどこかで定常集合と交わる.」
言われてみれば確かにそれは自然な解答と考えられます.
半順序がκ-閉ですから, 長さ κ 未満の列は保存されているのです.
かといってそいつらをまとめる関数が基礎モデルにはあるとは限らないので
「和を取って強制拡大の c.u.b. 集合を基礎モデルで得る」なんてことはできません.
しかしながら, 定常集合と c.u.b. 集合が交わるのは必ずκ-未満の場所であるわけで,
強制拡大のフルの情報が本当に必要であるというわけでも無いわけです.
強制法はその微妙な間隙を突くことができるというわけです.
[F5]は気づいてしまえば何も難しいことは無い問題.
和因子の各反鎖に, 0列に関する小細工がありますが, これは
全ての反鎖の和を取ったとき全体をちゃんと反鎖にするための工夫です.
[H2]の解法は, 強制法ではよくあることらしいのですが
解法を知った時は狐につままれたような気分でした.
「強制拡大の c.u.b. 集合のゴースト(とでも言うのか)が基礎モデルで作れる.
そしてそいつは c.u.b. 集合であるからどこかで定常集合と交わる.」
言われてみれば確かにそれは自然な解答と考えられます.
半順序がκ-閉ですから, 長さ κ 未満の列は保存されているのです.
かといってそいつらをまとめる関数が基礎モデルにはあるとは限らないので
「和を取って強制拡大の c.u.b. 集合を基礎モデルで得る」なんてことはできません.
しかしながら, 定常集合と c.u.b. 集合が交わるのは必ずκ-未満の場所であるわけで,
強制拡大のフルの情報が本当に必要であるというわけでも無いわけです.
強制法はその微妙な間隙を突くことができるというわけです.
2014年4月10日木曜日
Kunen VII章 演習問題 [D4], [D5] 感想戦
[D4], [D5] ともにヒントがあるので比較的解きやすい問題.
しかし, 補題7.5が使えることを察知しないと
強制拡大が等しいことを証明するところで詰まると思います.
また, [D5]では極大原理と系3.7(d)を使う場面があります.
この2つは強制法に関する議論では基本的な定理なので,
是非とも自由に使いこなせるようになっておかねばなりません.
ちなみに, この問題では完備埋め込みと反復強制の関係を説明しているわけですが,
Uri Abraham 著の proper forcing
http://www.cs.bgu.ac.il/~abraham/papers/math/ProperFinal2.pdf
では完備埋め込みの代わりに projection という概念が反復強制の話にかかってきます.
この projection は 完備埋め込みの "双対" のような概念であり,
[D4], [D5] の結果が, 完備埋め込みの代わりに
projection で議論して考えた場合も成り立つという事実が証明なしに登場しています.
(p.8 とp.9を繋いでる段落です.)
証明は[D4], [D5] と同様の方針でできるのですが, それなりに曲者で苦労しました.
しかし, 補題7.5が使えることを察知しないと
強制拡大が等しいことを証明するところで詰まると思います.
また, [D5]では極大原理と系3.7(d)を使う場面があります.
この2つは強制法に関する議論では基本的な定理なので,
是非とも自由に使いこなせるようになっておかねばなりません.
ちなみに, この問題では完備埋め込みと反復強制の関係を説明しているわけですが,
Uri Abraham 著の proper forcing
http://www.cs.bgu.ac.il/~abraham/papers/math/ProperFinal2.pdf
では完備埋め込みの代わりに projection という概念が反復強制の話にかかってきます.
この projection は 完備埋め込みの "双対" のような概念であり,
[D4], [D5] の結果が, 完備埋め込みの代わりに
projection で議論して考えた場合も成り立つという事実が証明なしに登場しています.
(p.8 とp.9を繋いでる段落です.)
証明は[D4], [D5] と同様の方針でできるのですが, それなりに曲者で苦労しました.
2014年3月24日月曜日
修士論文公開
私の修士論文を公開します。
This is my master's thesis.
Solovay's measure problem and Raisonnier's rapid filters
こちらは修士論文の要旨(日本語)です。
修士論文日本語要旨
This is my master's thesis.
Solovay's measure problem and Raisonnier's rapid filters
こちらは修士論文の要旨(日本語)です。
修士論文日本語要旨
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