twitterで言及していた問題です.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIOGxZLWV4ZklVTk0/view?usp=sharing
私は最初, 収束・発散の定義に戻って証明しようとしたり, 相加相乗平均の関係等を適用できないかと試みていたのですが, どうも上手い評価ができませんでした.
対数を用いて不等式 1-x \leq -log(x) を利用する以外に良い方法は無いように思われます.
2015/3/28 追記:
この命題, Borel-Cantelliの補題（の逆）と呼ばれている命題の別表現だったみたいです.
