大YouTube時代におけるこのブログの運用方針

現在はYouTubeのおかげで情報量の多い動画コンテンツでいろいろなことができるようになり、私の現在の活動方針では主戦場をそちらとしています。なので、ここはほとんど廃墟と化しました。

なぜかGoogleの検索にも引っかからないようですし、ここにいろいろアップしても見に来れる人はYouTubeチャンネル経由ぐらいのようです。ここでの活動はもはや無意味です。いや、それならばちゃんと検索に引っかかる新しいブログサービスを探すべきなのかもしれませんが……そもそも限られた人向けコンテンツなので、どうせならYouTubeで動画化リメイク企画のようなことをする方が効率も効果も高いのではないかと思います。

YouTubeに乗せないPDFデータ等の置き場としては今後も使用していくつもりです。

なにはともあれ、今後ともよろしくお願いします。

第3回すうがく徒のつどい@オンライン 講演を行いました

タイトルの通りです。

講演の配信アーカイブはこちら。

https://www.youtube.com/watch?v=9xS5o8tVZBU

講演で使用したスライドは後日こちらのすうがく徒のつどい@オンラインの公式サイトの方にアップされる予定です。

https://tsudoionline.netlify.app/03/schedule/

第3回すうがく徒のつどい@オンライン 講演の下書き 先行公開

タイトルの通りです。下のリンクは2022/04/30から開催予定の第3回すうがく徒のつどい@オンラインにて田尻が講演に使用するスライドを作成するために書いた下書きです。

当日聴講する講演の選択の参考にしてください。下記の内容について、全て十分に把握済みで目新しい内容が無い場合、私の講演はあまり有意義なものとは言えないでしょう。

また、当日の講演はYouTubeでの配信及びアーカイブも予定しています。

https://drive.google.com/file/d/1CD7n2u3d34pwraL8mGxgHShCqky0obll/view?usp=sharing

Baumgartner の Iterated forcing ゼミ企画 その2

第2回です。chain condition と closure condition が iteration で保存されるための条件に関して論じた節です。ちょっと読み下しが難しい部分がいくつかありましたね……。結果的になんとかできましたが。

他にすべきことがあるので今後の投稿ペースは悪くなると思われます。

https://drive.google.com/file/d/1FkQhMnVbfXuglJQiC_IY-4AQM54tW7Wt/view?usp=sharing

Baumgartner の Iterated forcing ゼミ企画 その1

久しぶりの記事投稿です。Baumgartner の Iterated forcing を精読し、初学者向けを想定して内容を日本語で解説したゼミ資料を作っていく企画です。

チャレンジ企画なので完遂できるかまだ現時点では分かりません。私自身の理解と並行してやっているので。不定期更新で原著のセクション分けに基づき全9回を予定しています。

初回は反復強制の定義と基本性質まで。まだなんら面白いところに入っていないので、反復強制初見の方でない限り流し読みで問題ないと思います。

https://drive.google.com/file/d/1TJt8CN4C1ZAXeJDzzlQC-CywjA96Hlj9/view?usp=sharing

「逆像がフィルターの元」である集合の集まりがフィルターになる話について

可測基数について勉強していて気になった話題を掘り下げました。といっても、すぐ分かることばかりな気がしますけれども。

https://drive.google.com/file/d/1Fk-dv3iZtleDfq0IGQM1o8pIx3Ud2GW0/view?usp=sharing

ZFだけでポーランド空間上のベールのカテゴリー定理が示せるってホントですか？

ホントです。というブログ。位相空間論をやっていて、実数の集合論に興味を持ち始めて、選択公理を触り始めたぐらいの人たちに捧ぐ……

https://drive.google.com/file/d/1BwEJfSGq-lShUnZOHVNP0IYTf5VNjJxY/view?usp=sharing

確率論に触れずに 0-1 law を単純に証明したい

集合論の文脈で 0-1 law を使うことがあるのだが、確率論に触れずに処理する方法を探していたが見つけられなかったので、こんな感じでどうでしょうという提案。

https://drive.google.com/open?id=1jITlkc-Yql6g0AUjg0QvttdWJRVFWmkA


私にはどうも独立事象とかいう言葉が tail event の本質を表しているようには思えなくて、測度が1に膨れ上がってしまう様をヴィジュアルにしたかったという話。

weakly selectiveの定義にultra filterの仮定は不要

寡聞故か、なんか「ultra filter が weakly selective であるとは～」みたいな文言しか見つけられなかったので、「いや、勝手にultra filterになるから」とツッコミを入れる資料です。

https://drive.google.com/open?id=1dSXhhT7cG7yzfj0Ot3cGTqKAE0YPYHqR

dominating numberとP-pointに関するKetonenの定理

前回に引き続き、"Set Theory: On the Structure of the Real Line" Tomek Bartoszynski, Haim Judah よりP-pointの話題における証明に大いに不満があったので、手直しに挑戦した。

https://drive.google.com/file/d/11tj2PoKHxEHVpEQ9usbSmA6VWovoR4j1/view?usp=sharing

P-point filterの条件

例の灰色本の証明がなんかおかしかったので、修正を試みた。

https://drive.google.com/file/d/1mRKEc56JXxWuMDXAovkzI9MWV3uVG27k/view?usp=sharing

Kunen本 VII章 演習問題 [H16], [H9], [D6] 感想戦

[H16]: 定理8.4や[B6]の解答を見れば, この定理にはしょうもない反例があることはすぐに察知できるでしょう. そういったしょうもない反例を除けば正しい定理です.
後はできそうなことをやっていけば、なんだかんだで解けるんではないでしょうか.
最も難しかったのは問題の意図に沿うであろう適切な仮定を決めるところでした.

[H9]: \mathbb{P}がc.c.c.を満たすことを考慮すると, diamond minus-列の作り方はほぼ一択, これしかない……のですが, 最初にこれを試そうとするとき, 躊躇するはずです. というのも, diamond-列はM[G]の元であり, その要素はMには存在しないかもしれません. そうなると\mathcal{B}_\alphaが空集合となるような\alphaがたくさん存在してしまうことも十分ありえる……と考えられるからです. でも, 実際にはそんなことはありえません. というのも, 有界な集合はどれもdiamond-列に定常回出現するからです. M[G]のdiamond-列ならなおさら, Mの有界な集合をすべて取り込んでいるわけです.

[D6]: 私をずっと苦しめていた問題. ある先生のヒントからとどめを刺すことができました. この問題最大のポイントは\mathcal{I}がset-completeであるということ(補題2)でしょうか.
もう一つ厄介なポイントは, 上限をM内で定めるところでした. 上からのガバガバな評価しかできなくて一時期諦めました. forceするconditionの埋め込みでカットするってのに気づくことさえできていれば, 全て自力でできていたのでその点は無念です.

メモ - iterationの濃度

メモです. Baumgartnerの``iterated forcing''に気になる定理があったのでまとめてみました.
いろいろ議論するには重要な事実だと思うんですけど, 私の目が節穴すぎるのか,
今のところ他の資料で同種の主張を見かけた覚えがありませんでした.


https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIRG84WHJKSWNyTDQ/view?usp=sharing

proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節その3

前回の続きで, 一応最終回です.
ちょっとハードすぎやしませんかね.

https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szITzdwWDZWaFVRWFk/view?usp=sharing


追記1. (1/11): 細かい修正&正式公開

ちなみに、このShelahの定理に出てきた公理P_1, P_2はcardinal invariantを使って表現することができることが知られています. P_2がd=\omega_1と同値であることは定義からすぐに分かります.
1985年のPawlikowskiの論文``Powers of transitive bases of measure and category''によると、「P_1が成り立つこと」と「add*(N)が\omega_1より大であること」は同値です.
ここで, add*(N)とは,

\min \{ |X| : X \subset {^\omega\omega} かつ \exists A \in N (A+X \notin N) \}(ただしNはnull ideal)

のことです. つまり, add*(N)は「どんなに大きいnull setが与えられたとしても, それを平行移動して軌跡の和がnullでなくなるためには最低でも何回平行移動する必要があるか？」を問うcardinal invariantです.

ここまでの話を整理すると
「特殊な二部グラフの超冪がどんな構造か」という問題には公理P_1を通して
「ルベーグ測度についてどんなことが成り立つか」が関係している
ということが分かります。

proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節その2

前回の続きです. 7行程度で書かれていることですが,
ちゃんと議論しようとするとこのようなことになります.




https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIMERrNjR3NzB3ZFk/view?usp=sharing

次回に続きます……


追記1: 12/23 bookkeepingに失敗していたのを修正しました.
追記2: 12/25 posetの濃度計算が雑だったのを修正. これについては
http://tjrsfilestorage.blogspot.jp/2014/12/iteration.html
も参照してください.

メモ

twitterで言及していた問題です.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIOGxZLWV4ZklVTk0/view?usp=sharing


私は最初, 収束・発散の定義に戻って証明しようとしたり, 相加相乗平均の関係等を適用できないかと試みていたのですが, どうも上手い評価ができませんでした.
対数を用いて不等式 1-x \leq -log(x) を利用する以外に良い方法は無いように思われます.



2015/3/28 追記:
この命題, Borel-Cantelliの補題（の逆）と呼ばれている命題の別表現だったみたいです.

proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節その1

このパートはいくらなんでも厄介すぎます. 今回記事に出来た分はAbrahamは2ページ程度で終わらせている内容ですが, 簡単だからそうなっているのではなく, 大分書き方もフランクなので, 単に上級者に対する話題提供ぐらいのつもりで書いているのだと思います.
原著の書き方でも, ultrapowerとかモデル理論とかにかなり強い人からしたらすぐ分かることなんでしょうか？



私が解説を試みたところ, 8ページのファイルに膨れ上がりました. ↓

応用の節はまだまだ続きます……
（原著では残り3ページですが膨張すること必至.）

追記1: 12/01 最初の定理の文言修正と, \Gamma_{NS}に対してnon-standardな連結成分の存在の保証を追加

追記2: 間違いを修正. これでconsistentにはなったと思いますが, どうやら途中の議論はもっと単純化できる場所があるとのことなのでそちらも検討して資料にしようかと思います.

追記3: 追記2で言っていたことを実現. $\Gamma_{NS}$はultrapowerによる具体的な構成をされていなくても良かったことが分かりました.
追記4: 気に入らなかった文言を修正.
追記5: 最後のClaim 0.7の証明を修正.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIOG5sdUNRdXptZ2c/view?usp=sharing

proper forcing 学習の記録 -- Axiom A* forcing は{^\omega \omega}-bounding である

Abraham "Proper forcing"の3章に今回のタイトルの内容が主張されているのですが, その証明が書かれていないようなので作成してみました. 決して難しいものではないのでforcingの良い演習問題としても使えるかもしれませんね.

https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIazRQcXdsSVVMS1U/view?usp=sharing

内輪メモ

内輪なメモです. 明らかなことなんですが, 証明をすぐに思いつきませんでした.

https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIWmdBS3Bnb015eXc/view?usp=sharing

proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節, 演習問題の解答

Abraham "Proper forcing"の3章に「読者への演習問題として残しておく」として主張されている事実があるのですが, 解答を作成してみました.
MA+￢CHからP_1が導かれることは自明でないと私は思っているのですが, そこがすぐに分かるような人にとってはこの資料を読む意味はあまり無いと思います.


追記 10/26: 衍字の削除
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIaWFFRUdsN2lyYmc/view?usp=sharing