メモです. Baumgartnerの``iterated forcing''に気になる定理があったのでまとめてみました.
いろいろ議論するには重要な事実だと思うんですけど, 私の目が節穴すぎるのか,
今のところ他の資料で同種の主張を見かけた覚えがありませんでした.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIRG84WHJKSWNyTDQ/view?usp=sharing
2014年12月25日木曜日
2014年12月23日火曜日
proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節その3
前回の続きで, 一応最終回です.
ちょっとハードすぎやしませんかね.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szITzdwWDZWaFVRWFk/view?usp=sharing
追記1. (1/11): 細かい修正&正式公開
ちなみに、このShelahの定理に出てきた公理P_1, P_2はcardinal invariantを使って表現することができることが知られています. P_2がd=\omega_1と同値であることは定義からすぐに分かります.
1985年のPawlikowskiの論文``Powers of transitive bases of measure and category''によると、「P_1が成り立つこと」と「add*(N)が\omega_1より大であること」は同値です.
ここで, add*(N)とは,
\min \{ |X| : X \subset {^\omega\omega} かつ \exists A \in N (A+X \notin N) \}(ただしNはnull ideal)
のことです. つまり, add*(N)は「どんなに大きいnull setが与えられたとしても, それを平行移動して軌跡の和がnullでなくなるためには最低でも何回平行移動する必要があるか？」を問うcardinal invariantです.
ここまでの話を整理すると
「特殊な二部グラフの超冪がどんな構造か」という問題には公理P_1を通して
「ルベーグ測度についてどんなことが成り立つか」が関係している
ということが分かります。
ちょっとハードすぎやしませんかね.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szITzdwWDZWaFVRWFk/view?usp=sharing
追記1. (1/11): 細かい修正&正式公開
ちなみに、このShelahの定理に出てきた公理P_1, P_2はcardinal invariantを使って表現することができることが知られています. P_2がd=\omega_1と同値であることは定義からすぐに分かります.
1985年のPawlikowskiの論文``Powers of transitive bases of measure and category''によると、「P_1が成り立つこと」と「add*(N)が\omega_1より大であること」は同値です.
ここで, add*(N)とは,
\min \{ |X| : X \subset {^\omega\omega} かつ \exists A \in N (A+X \notin N) \}(ただしNはnull ideal)
のことです. つまり, add*(N)は「どんなに大きいnull setが与えられたとしても, それを平行移動して軌跡の和がnullでなくなるためには最低でも何回平行移動する必要があるか？」を問うcardinal invariantです.
ここまでの話を整理すると
「特殊な二部グラフの超冪がどんな構造か」という問題には公理P_1を通して
「ルベーグ測度についてどんなことが成り立つか」が関係している
ということが分かります。
2014年12月13日土曜日
proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節その2
前回の続きです. 7行程度で書かれていることですが,
ちゃんと議論しようとするとこのようなことになります.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIMERrNjR3NzB3ZFk/view?usp=sharing
次回に続きます……
追記1: 12/23 bookkeepingに失敗していたのを修正しました.
追記2: 12/25 posetの濃度計算が雑だったのを修正. これについては
http://tjrsfilestorage.blogspot.jp/2014/12/iteration.html
も参照してください.
ちゃんと議論しようとするとこのようなことになります.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIMERrNjR3NzB3ZFk/view?usp=sharing
次回に続きます……
追記1: 12/23 bookkeepingに失敗していたのを修正しました.
追記2: 12/25 posetの濃度計算が雑だったのを修正. これについては
http://tjrsfilestorage.blogspot.jp/2014/12/iteration.html
も参照してください.
メモ
twitterで言及していた問題です.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIOGxZLWV4ZklVTk0/view?usp=sharing
私は最初, 収束・発散の定義に戻って証明しようとしたり, 相加相乗平均の関係等を適用できないかと試みていたのですが, どうも上手い評価ができませんでした.
対数を用いて不等式 1-x \leq -log(x) を利用する以外に良い方法は無いように思われます.
2015/3/28 追記:
この命題, Borel-Cantelliの補題（の逆）と呼ばれている命題の別表現だったみたいです.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIOGxZLWV4ZklVTk0/view?usp=sharing
私は最初, 収束・発散の定義に戻って証明しようとしたり, 相加相乗平均の関係等を適用できないかと試みていたのですが, どうも上手い評価ができませんでした.
対数を用いて不等式 1-x \leq -log(x) を利用する以外に良い方法は無いように思われます.
2015/3/28 追記:
この命題, Borel-Cantelliの補題（の逆）と呼ばれている命題の別表現だったみたいです.
2014年12月1日月曜日
proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節その1
このパートはいくらなんでも厄介すぎます. 今回記事に出来た分はAbrahamは2ページ程度で終わらせている内容ですが, 簡単だからそうなっているのではなく, 大分書き方もフランクなので, 単に上級者に対する話題提供ぐらいのつもりで書いているのだと思います.
原著の書き方でも, ultrapowerとかモデル理論とかにかなり強い人からしたらすぐ分かることなんでしょうか？
私が解説を試みたところ, 8ページのファイルに膨れ上がりました. ↓
応用の節はまだまだ続きます……
（原著では残り3ページですが膨張すること必至.）
追記1: 12/01 最初の定理の文言修正と, \Gamma_{NS}に対してnon-standardな連結成分の存在の保証を追加
追記2: 間違いを修正. これでconsistentにはなったと思いますが, どうやら途中の議論はもっと単純化できる場所があるとのことなのでそちらも検討して資料にしようかと思います.
追記3: 追記2で言っていたことを実現. $\Gamma_{NS}$はultrapowerによる具体的な構成をされていなくても良かったことが分かりました.
追記4: 気に入らなかった文言を修正.
追記5: 最後のClaim 0.7の証明を修正.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIOG5sdUNRdXptZ2c/view?usp=sharing
原著の書き方でも, ultrapowerとかモデル理論とかにかなり強い人からしたらすぐ分かることなんでしょうか？
私が解説を試みたところ, 8ページのファイルに膨れ上がりました. ↓
応用の節はまだまだ続きます……
（原著では残り3ページですが膨張すること必至.）
追記1: 12/01 最初の定理の文言修正と, \Gamma_{NS}に対してnon-standardな連結成分の存在の保証を追加
追記2: 間違いを修正. これでconsistentにはなったと思いますが, どうやら途中の議論はもっと単純化できる場所があるとのことなのでそちらも検討して資料にしようかと思います.
追記3: 追記2で言っていたことを実現. $\Gamma_{NS}$はultrapowerによる具体的な構成をされていなくても良かったことが分かりました.
追記4: 気に入らなかった文言を修正.
追記5: 最後のClaim 0.7の証明を修正.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIOG5sdUNRdXptZ2c/view?usp=sharing
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