集合論の文脈で 0-1 law を使うことがあるのだが、確率論に触れずに処理する方法を探していたが見つけられなかったので、こんな感じでどうでしょうという提案。
https://drive.google.com/open?id=1jITlkc-Yql6g0AUjg0QvttdWJRVFWmkA
私にはどうも独立事象とかいう言葉が tail event の本質を表しているようには思えなくて、測度が1に膨れ上がってしまう様をヴィジュアルにしたかったという話。
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このブログの基本方針は「日頃の数学の勉強で気づいたことなどをメモする」です。
ちなみに proper_TAJIRI の proper の由来は当ブログでよく話題にしていた forcing とは関係ありません。
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2020年1月11日土曜日
2020年1月10日金曜日
weakly selectiveの定義にultra filterの仮定は不要
寡聞故か、なんか「ultra filter が weakly selective であるとは~」みたいな文言しか見つけられなかったので、「いや、勝手にultra filterになるから」とツッコミを入れる資料です。
https://drive.google.com/open?id=1dSXhhT7cG7yzfj0Ot3cGTqKAE0YPYHqR
https://drive.google.com/open?id=1dSXhhT7cG7yzfj0Ot3cGTqKAE0YPYHqR
2019年12月8日日曜日
dominating numberとP-pointに関するKetonenの定理
前回に引き続き、"Set Theory: On the Structure of the Real Line" Tomek Bartoszynski, Haim Judah よりP-pointの話題における証明に大いに不満があったので、手直しに挑戦した。
https://drive.google.com/file/d/11tj2PoKHxEHVpEQ9usbSmA6VWovoR4j1/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/11tj2PoKHxEHVpEQ9usbSmA6VWovoR4j1/view?usp=sharing
2019年11月24日日曜日
P-point filterの条件
例の灰色本の証明がなんかおかしかったので、修正を試みた。
https://drive.google.com/file/d/1mRKEc56JXxWuMDXAovkzI9MWV3uVG27k/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1mRKEc56JXxWuMDXAovkzI9MWV3uVG27k/view?usp=sharing
2015年10月18日日曜日
Kunen本 VII章 演習問題 [H16], [H9], [D6] 感想戦
[H16]: 定理8.4や[B6]の解答を見れば, この定理にはしょうもない反例があることはすぐに察知できるでしょう. そういったしょうもない反例を除けば正しい定理です.
後はできそうなことをやっていけば、なんだかんだで解けるんではないでしょうか.
最も難しかったのは問題の意図に沿うであろう適切な仮定を決めるところでした.
[H9]: \mathbb{P}がc.c.c.を満たすことを考慮すると, diamond minus-列の作り方はほぼ一択, これしかない……のですが, 最初にこれを試そうとするとき, 躊躇するはずです. というのも, diamond-列はM[G]の元であり, その要素はMには存在しないかもしれません. そうなると\mathcal{B}_\alphaが空集合となるような\alphaがたくさん存在してしまうことも十分ありえる……と考えられるからです. でも, 実際にはそんなことはありえません. というのも, 有界な集合はどれもdiamond-列に定常回出現するからです. M[G]のdiamond-列ならなおさら, Mの有界な集合をすべて取り込んでいるわけです.
[D6]: 私をずっと苦しめていた問題. ある先生のヒントからとどめを刺すことができました. この問題最大のポイントは\mathcal{I}がset-completeであるということ(補題2)でしょうか.
もう一つ厄介なポイントは, 上限をM内で定めるところでした. 上からのガバガバな評価しかできなくて一時期諦めました. forceするconditionの埋め込みでカットするってのに気づくことさえできていれば, 全て自力でできていたのでその点は無念です.
後はできそうなことをやっていけば、なんだかんだで解けるんではないでしょうか.
最も難しかったのは問題の意図に沿うであろう適切な仮定を決めるところでした.
[H9]: \mathbb{P}がc.c.c.を満たすことを考慮すると, diamond minus-列の作り方はほぼ一択, これしかない……のですが, 最初にこれを試そうとするとき, 躊躇するはずです. というのも, diamond-列はM[G]の元であり, その要素はMには存在しないかもしれません. そうなると\mathcal{B}_\alphaが空集合となるような\alphaがたくさん存在してしまうことも十分ありえる……と考えられるからです. でも, 実際にはそんなことはありえません. というのも, 有界な集合はどれもdiamond-列に定常回出現するからです. M[G]のdiamond-列ならなおさら, Mの有界な集合をすべて取り込んでいるわけです.
[D6]: 私をずっと苦しめていた問題. ある先生のヒントからとどめを刺すことができました. この問題最大のポイントは\mathcal{I}がset-completeであるということ(補題2)でしょうか.
もう一つ厄介なポイントは, 上限をM内で定めるところでした. 上からのガバガバな評価しかできなくて一時期諦めました. forceするconditionの埋め込みでカットするってのに気づくことさえできていれば, 全て自力でできていたのでその点は無念です.
2014年12月25日木曜日
メモ - iterationの濃度
メモです. Baumgartnerの``iterated forcing''に気になる定理があったのでまとめてみました.
いろいろ議論するには重要な事実だと思うんですけど, 私の目が節穴すぎるのか,
今のところ他の資料で同種の主張を見かけた覚えがありませんでした.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIRG84WHJKSWNyTDQ/view?usp=sharing
いろいろ議論するには重要な事実だと思うんですけど, 私の目が節穴すぎるのか,
今のところ他の資料で同種の主張を見かけた覚えがありませんでした.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIRG84WHJKSWNyTDQ/view?usp=sharing
2014年12月23日火曜日
proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節その3
前回の続きで, 一応最終回です.
ちょっとハードすぎやしませんかね.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szITzdwWDZWaFVRWFk/view?usp=sharing
追記1. (1/11): 細かい修正&正式公開
ちなみに、このShelahの定理に出てきた公理P_1, P_2はcardinal invariantを使って表現することができることが知られています. P_2がd=\omega_1と同値であることは定義からすぐに分かります.
1985年のPawlikowskiの論文``Powers of transitive bases of measure and category''によると、「P_1が成り立つこと」と「add*(N)が\omega_1より大であること」は同値です.
ここで, add*(N)とは,
\min \{ |X| : X \subset {^\omega\omega} かつ \exists A \in N (A+X \notin N) \}(ただしNはnull ideal)
のことです. つまり, add*(N)は「どんなに大きいnull setが与えられたとしても, それを平行移動して軌跡の和がnullでなくなるためには最低でも何回平行移動する必要があるか?」を問うcardinal invariantです.
ここまでの話を整理すると
「特殊な二部グラフの超冪がどんな構造か」という問題には公理P_1を通して
「ルベーグ測度についてどんなことが成り立つか」が関係している
ということが分かります。
ちょっとハードすぎやしませんかね.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szITzdwWDZWaFVRWFk/view?usp=sharing
追記1. (1/11): 細かい修正&正式公開
ちなみに、このShelahの定理に出てきた公理P_1, P_2はcardinal invariantを使って表現することができることが知られています. P_2がd=\omega_1と同値であることは定義からすぐに分かります.
1985年のPawlikowskiの論文``Powers of transitive bases of measure and category''によると、「P_1が成り立つこと」と「add*(N)が\omega_1より大であること」は同値です.
ここで, add*(N)とは,
\min \{ |X| : X \subset {^\omega\omega} かつ \exists A \in N (A+X \notin N) \}(ただしNはnull ideal)
のことです. つまり, add*(N)は「どんなに大きいnull setが与えられたとしても, それを平行移動して軌跡の和がnullでなくなるためには最低でも何回平行移動する必要があるか?」を問うcardinal invariantです.
ここまでの話を整理すると
「特殊な二部グラフの超冪がどんな構造か」という問題には公理P_1を通して
「ルベーグ測度についてどんなことが成り立つか」が関係している
ということが分かります。
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