proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節その2

前回の続きです. 7行程度で書かれていることですが,
ちゃんと議論しようとするとこのようなことになります.




https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIMERrNjR3NzB3ZFk/view?usp=sharing

次回に続きます……


追記1: 12/23 bookkeepingに失敗していたのを修正しました.
追記2: 12/25 posetの濃度計算が雑だったのを修正. これについては
http://tjrsfilestorage.blogspot.jp/2014/12/iteration.html
も参照してください.

メモ

twitterで言及していた問題です.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIOGxZLWV4ZklVTk0/view?usp=sharing


私は最初, 収束・発散の定義に戻って証明しようとしたり, 相加相乗平均の関係等を適用できないかと試みていたのですが, どうも上手い評価ができませんでした.
対数を用いて不等式 1-x \leq -log(x) を利用する以外に良い方法は無いように思われます.



2015/3/28 追記:
この命題, Borel-Cantelliの補題（の逆）と呼ばれている命題の別表現だったみたいです.

proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節その1

このパートはいくらなんでも厄介すぎます. 今回記事に出来た分はAbrahamは2ページ程度で終わらせている内容ですが, 簡単だからそうなっているのではなく, 大分書き方もフランクなので, 単に上級者に対する話題提供ぐらいのつもりで書いているのだと思います.
原著の書き方でも, ultrapowerとかモデル理論とかにかなり強い人からしたらすぐ分かることなんでしょうか？



私が解説を試みたところ, 8ページのファイルに膨れ上がりました. ↓

応用の節はまだまだ続きます……
（原著では残り3ページですが膨張すること必至.）

追記1: 12/01 最初の定理の文言修正と, \Gamma_{NS}に対してnon-standardな連結成分の存在の保証を追加

追記2: 間違いを修正. これでconsistentにはなったと思いますが, どうやら途中の議論はもっと単純化できる場所があるとのことなのでそちらも検討して資料にしようかと思います.

追記3: 追記2で言っていたことを実現. $\Gamma_{NS}$はultrapowerによる具体的な構成をされていなくても良かったことが分かりました.
追記4: 気に入らなかった文言を修正.
追記5: 最後のClaim 0.7の証明を修正.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIOG5sdUNRdXptZ2c/view?usp=sharing

proper forcing 学習の記録 -- Axiom A* forcing は{^\omega \omega}-bounding である

Abraham "Proper forcing"の3章に今回のタイトルの内容が主張されているのですが, その証明が書かれていないようなので作成してみました. 決して難しいものではないのでforcingの良い演習問題としても使えるかもしれませんね.

https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIazRQcXdsSVVMS1U/view?usp=sharing

内輪メモ

内輪なメモです. 明らかなことなんですが, 証明をすぐに思いつきませんでした.

https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIWmdBS3Bnb015eXc/view?usp=sharing

proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節, 演習問題の解答

Abraham "Proper forcing"の3章に「読者への演習問題として残しておく」として主張されている事実があるのですが, 解答を作成してみました.
MA+￢CHからP_1が導かれることは自明でないと私は思っているのですが, そこがすぐに分かるような人にとってはこの資料を読む意味はあまり無いと思います.


追記 10/26: 衍字の削除
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIaWFFRUdsN2lyYmc/view?usp=sharing

proper forcing 学習の記録 -- 修正編 その2

Abraham"proper forcing"3章(応用の節は除く)に修正と解説を施しました.

修正点は以下の通りです:
・各概念の定義を精密化.
・各定理の証明の厳密化.
・以前の資料で指摘したLemma 3.4の仮定の変更.


この章は実際に証明を行っていくと, 複数の半順序, モデル, forcing notionが入り乱れ, またこの章で導入される, 関数のinterpretation, derived sequenceといった概念もかなり複雑で, 細心の注意を払わないと途中で自分がどこで何をやっているのか分からなくなる危険性が非常に高いです.

そういったわけで, その点で誤解を生まないような解説にも力を入れてみました.

追記10/20:
Lemma 0.9で使用した記法に関する説明のタイミングを修正.
main theoremの証明の最後に少し補足説明追加.

追記10/27:
原著Lemma 3.4にあたる補題において,
・仮定を強化（the properness extension lemmaを用いるのでproper forcingのiterationで考えなければなりません）.
・表現を一部修正（可読性はそんなには変化していないと思われます）.
・最後の部分の議論に欠陥があったので大幅に修正（今回の一番のポイントです）.

追記10/29:
誤字脱字訂正.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIZFZGZF9NS2R0X28/view?usp=sharing