proper forcing 学習の記録 -- Axiom A* forcing は{^\omega \omega}-bounding である

Abraham "Proper forcing"の3章に今回のタイトルの内容が主張されているのですが, その証明が書かれていないようなので作成してみました. 決して難しいものではないのでforcingの良い演習問題としても使えるかもしれませんね.

https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIazRQcXdsSVVMS1U/view?usp=sharing

内輪メモ

内輪なメモです. 明らかなことなんですが, 証明をすぐに思いつきませんでした.

https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIWmdBS3Bnb015eXc/view?usp=sharing

proper forcing 学習の記録 -- 3章応用の節, 演習問題の解答

Abraham "Proper forcing"の3章に「読者への演習問題として残しておく」として主張されている事実があるのですが, 解答を作成してみました.
MA+￢CHからP_1が導かれることは自明でないと私は思っているのですが, そこがすぐに分かるような人にとってはこの資料を読む意味はあまり無いと思います.


追記 10/26: 衍字の削除
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIaWFFRUdsN2lyYmc/view?usp=sharing

proper forcing 学習の記録 -- 修正編 その2

Abraham"proper forcing"3章(応用の節は除く)に修正と解説を施しました.

修正点は以下の通りです:
・各概念の定義を精密化.
・各定理の証明の厳密化.
・以前の資料で指摘したLemma 3.4の仮定の変更.


この章は実際に証明を行っていくと, 複数の半順序, モデル, forcing notionが入り乱れ, またこの章で導入される, 関数のinterpretation, derived sequenceといった概念もかなり複雑で, 細心の注意を払わないと途中で自分がどこで何をやっているのか分からなくなる危険性が非常に高いです.

そういったわけで, その点で誤解を生まないような解説にも力を入れてみました.

追記10/20:
Lemma 0.9で使用した記法に関する説明のタイミングを修正.
main theoremの証明の最後に少し補足説明追加.

追記10/27:
原著Lemma 3.4にあたる補題において,
・仮定を強化（the properness extension lemmaを用いるのでproper forcingのiterationで考えなければなりません）.
・表現を一部修正（可読性はそんなには変化していないと思われます）.
・最後の部分の議論に欠陥があったので大幅に修正（今回の一番のポイントです）.

追記10/29:
誤字脱字訂正.
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIZFZGZF9NS2R0X28/view?usp=sharing

proper forcing 学習の記録 -- Introductionの章について解説

Abrahamの"Proper forcing"のIntroductionの章は、その時点で既に、初学者にはそこそこ難しい内容がいくつかあるように思われたので、そういったいくつかの命題に証明や考察をつけてみました。3章の内容にも少し関わっています。

https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIWXdlaDlaa0xSalk/edit?usp=sharing

proper forcing 学習の記録 -- 修正編 その1

数日前にtwitterで言及したのですが、Abrahamの"Proper forcing"において、proper forcingのiterationと\aleph_2-chain conditionに関する定理の証明にどうしても納得できなかった点がありました。そして、それを解決する方法が分かったのでブログ記事にしました。

追記: 1回修正しました。
（I_4をとる前にI_3を\omega_2に整列していたが、それだと証明中の記号の使い方が整合性を失うことになっていた。）

追記2 : ファイルに追加はしませんがやはり気になったので少しremarkをしておきます。
Thm2.12の証明の修正方法についての概要です。
大筋は元のままでよく、そこで2.10と2.11を適用できるようにモデルの取り方を限定する必要があるというのはファイルに書いた通りです。ここでさらに、Thm2.12におけるxがhの不動点となるようにもすればOKです。そしてそれは2.10の証明中で行ったiterationをhの不動点にするトリックと全く同様にできます。

ところで、この証明には2.11の最後に書いてある"Hence any (M_1, P_\mu)-generic condition is also (M_2, P_{h(\mu)})-generic." という主張を使うことになるのですが、2.10, 2.11の設定の下でもこの主張は成り立たないように思われます。それでも\mu=h(\mu)の場合には成り立ち、2.12の証明にはその場合のみを用いるので問題なく証明は通るはずです。

追記3: 最初は成り立たないと思っていたのですが、どうも成り立つようなので その証明も追加しました。

追記4 : ゼミ発表を通して発覚した問題点に対応しました。
自主的な修正は正真正銘これで最後です。↓
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIUnJJVHRQa19fUU0/edit?usp=sharing

人の字問題

先日Twitterで言及されていた問題に対して考察しましたのでその成果をここに上げておきます。

https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szITVd3eUhMaGdQZHM/edit?usp=sharing


追記 : 1回修正しました。