proper forcing 学習の記録 -- 修正編 その1

数日前にtwitterで言及したのですが、Abrahamの"Proper forcing"において、proper forcingのiterationと\aleph_2-chain conditionに関する定理の証明にどうしても納得できなかった点がありました。そして、それを解決する方法が分かったのでブログ記事にしました。

追記: 1回修正しました。
（I_4をとる前にI_3を\omega_2に整列していたが、それだと証明中の記号の使い方が整合性を失うことになっていた。）

追記2 : ファイルに追加はしませんがやはり気になったので少しremarkをしておきます。
Thm2.12の証明の修正方法についての概要です。
大筋は元のままでよく、そこで2.10と2.11を適用できるようにモデルの取り方を限定する必要があるというのはファイルに書いた通りです。ここでさらに、Thm2.12におけるxがhの不動点となるようにもすればOKです。そしてそれは2.10の証明中で行ったiterationをhの不動点にするトリックと全く同様にできます。

ところで、この証明には2.11の最後に書いてある"Hence any (M_1, P_\mu)-generic condition is also (M_2, P_{h(\mu)})-generic." という主張を使うことになるのですが、2.10, 2.11の設定の下でもこの主張は成り立たないように思われます。それでも\mu=h(\mu)の場合には成り立ち、2.12の証明にはその場合のみを用いるので問題なく証明は通るはずです。

追記3: 最初は成り立たないと思っていたのですが、どうも成り立つようなので その証明も追加しました。

追記4 : ゼミ発表を通して発覚した問題点に対応しました。
自主的な修正は正真正銘これで最後です。↓
https://drive.google.com/file/d/0B7Cy_2w49szIUnJJVHRQa19fUU0/edit?usp=sharing